分式方程的一个神奇解法

1 引言

(资料图片)

代数学是慷慨大方的，它给予人的往往比人们对她所要求的还要多。——达朗贝尔

这个方法不是我提出的，但是我们数学老师在讲课时提了很多次这个神奇方法，让我对这个方法产生了莫大的兴趣，所以，我花了一些时间来研究这个方法的证明，那么，以下我将展开论述

2证明部分

定理. 对于一个分式方程，只要把其一边全部移到左边或右边来，化简后去解，如果有解，则一定不会有增根。

证明. b\a + b1\a1 + b2\a2+ …… + bn\an（都为最简分式）

通分（具体在后文）

我们只需解 b ∗ … + b1 ∗ … + … + bn ∗ … = 0

那么我们只用说明如果此方程解为增根（用普通方法解），那么此方程无解：

第一我们要使用一个定理：对于一个式子，如果 x=k 可使其的值为 0，则 x-k 为其的一个因式

对于每一个 aq（q 为正整数，且不超过 n），都可能有一个实数 k 使其的值为 0，那么我们一个个来讨论：对于一个实数 k，如果其可使 aq, aq1… 的值为 0，那么，我们现在还要再干一件事，就是把 aq, aq1…一直去分因式 x-k，直到剩下的式子不再满足当 x=k 时其的值为 0，所以我们可以把它变成以下的式子：

…+ bq \cq∗(x−n)^m +…+ bq1\ cq1∗(x−n)^m1+…=0

那么我们来通分，这里我们可以直接这么干：

a…*b…∗…∗(x−k)^ml+…\a…∗…∗cq∗cq1∗…∗(x−k)^ml=0

注：l 为一个式子有 x-k 这个因式的数量最大值

这里我们要解的是其分子的值为 0，这里下方有个 (x − k) ^ml，则如果之前分母没有 x-k 这个因式的分子上会多一个 (x−k) ^ml，如果之前有，则会乘以 ml − m… 个 x-k，因为 l 为一个式子有 x-k 这个因式的数量最大值，所以这里 ml − m…>0，但如果原分母就有 (x − k) ml 的，分子通分后就没有 x-k 这个因式了（如果有，则约分后 x-k 的值会比 ml 小，矛盾！）而且这里，剩下的 a…等cq 等分母不满足当 x=k 时，其值为 0（cq等我们在定义中就说其是不再满足x=k时，其为0，而a…等分母我们在最开始就排除了），那么，还有一点需要考虑，就是原来分母有 (x − k) ^ml 的那个分式的分子会不会满足当 x=k 时，其的值为 0，假设其满足，则其有因式 x-k，而其的分母也有这个因式，与其为最简分式矛盾！所以假设不成立，那么，把 x=k 带到之前通分后分式的分子中时，这个原分母含有 (x − k) ^ml 通分后的部分值不为 0，而其他的式子都为 0，所以这个值不满足分子为 0，所以这不是其的一个解。所以，同理，对于每个增根，都不满足 a…*b… ∗ … ∗ (x − k) ^ml + … 这个方程，所以把分式全放到左边或右边的方法不会解出增根。

QED

3 后记

写到这，这是第二版了，在我写第一版时，我突然发现第一版有很大的问题，所以我重新来研究了一遍，说来也怪，研究完我先在我的本子上把它改正了，然后今天就突然兴致大发，一口气写完了三篇，我还写了句小诗：忽见皎月兴致发，一气呵成连三篇。唉，倒是改了自己写东西就鸽的坏习惯，也不错了，明天又是新的一天，加油吧！